Що таке граф дільника нуля некомутативного кільця?
У спосіб, аналогічний комутативному випадку, граф дільника нуля некомутативного кільця R можна визначити як орієнтований граф, що всі його вершини є ненульовими дільниками нуля R, у якому для будь-яких двох різних вершин x і y x → y є ребром тоді і тільки тоді, коли x y = 0 .
Ми позначимо Z(R) множину дільників нуля R. Граф дільника нуля R є неорієнтований граф г(R) з вершинами Z(R)* Z(R) – {0}, де різні вершини x і y графа R є суміжними тоді і тільки тоді, коли xy = 0.
Якщо R є кільцем, відмінним від кільця нуля, тоді 0 є (двостороннім) дільником нуля, тому що будь-який ненульовий елемент x задовольняє 0x = 0 = x 0. Якщо R є нульовим кільцем, у якому 0 = 1, то 0 не є дільником нуля, оскільки немає ненульового елемента, який при множенні на 0 дає 0.
Домен є кільцем з тотожністю без будь-яких дільників нуля. Цілою областю є комутативна область. Оскільки одиниці ніколи не є дільниками нуля, кільця ділення є областями, а поля є областями цілісності (див. вправу 1).
Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Граф зі слабким дільником нуля W\Gamma(R) кільця R є простий неорієнтований граф, вершини якого є ненульовими дільниками нуля R, а дві вершини x, y є суміжними тоді і тільки тоді, коли існує r\in {\rm ann}(x) і s \in {\rm ann}(y) так, що rs =0.
Граф дільника нуля комутативної напівгрупи з нулем є граф, вершини якого є ненульовими дільниками нуля напівгрупи, з двома різними вершинами, з’єднаними ребром, якщо їх добуток у напівгрупі дорівнює нулю. Ми продовжуємо вивчення цієї конструкції та її поширення на симпліціальний комплекс.